Imágenes formadas por Refracción





Consideremos la refracción en una superficie esférica, es decir, en una interfase esférica entre dos materiales ópticos con diferente índice de refracción.

Este análisis se aplica directamente a algunos sistemas ópticos reales, como el ojo humano. También constituye una piedra angular para el análisis de las lentes, que por lo general son dos superficies esféricas.

En la figura 10 se muestra una superficie esférica de un radio R que forma una interfase entre dos materiales con diferente índice de refracción, na y nb. La superficie forma una imagen P' de un punto objeto P; deseamos encontrar cómo están relacionadas las distancias objeto e imagen (s y s'). Utilizaremos las mismas reglas de los signos que usamos para los espejos esféricos. El centro de curvatura C se encuentra en el lado desde donde se alejan los rayos de la interfase, de modo que R es positiva. El rayo PV incide en el vértice V y es perpendicular a la superficie (es decir, al plano tangente a la superficie en el punto de incidencia V). Pasa al segundo material sin desviarse. El rayo PB, que forma un ángulo a con el eje, incide con un ángulo q a con respecto a la normal, y es refractado a un ángulo q b. Estos rayos se intersectan en P' a una distancia s' a la derecha del vértice. En la figura se muestra el caso na < nb. Las distancias objeto e imagen son ambas positivas.

 

figura 10

 

Demostraremos que si el ángulo a es pequeño, todos los rayos provenientes de P se intersectan en el mismo punto P', de modo que P' es la imagen real de P. Utilizamos el teorema que afirma que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos opuestos; aplicando este teorema a los triángulos PBC y P'BC se tiene:

Ecuación 1.

Por la ley de refracción,

Tenemos también que las tangentes de a , b y f son:

Ecuación 2.

Para rayos paraxiales, q a y q b son pequeños en comparación con un radián, y podemos aproximar tanto el seno como la tangente de cualquiera de estos ángulos por el ángulo mismo (medido en radianes). La ley de refracción da entonces:

Combinando estas expresiones con la primera de la ecuación 1,obtenemos:

Cuando sustituimos esta expresión en la segunda de la ecuación 1, obtenemos:

Ecuación 3.

Ahora sustituimos las aproximaciones tana = a , y así sucesivamente, en la ecuación 2 y también despreciamos la pequeña distancia d ; tales ecuaciones quedan entonces como:

Por último, sustituimos estas expresiones en la ecuación 3 y eliminamos el factor común h. Obtenemos:

(relaciones objeto-imagen, superficie refractora esférica).

Ecuación 4.

Esta ecuación no contiene al ángulo a , de modo que la distancia imagen es la misma para todos los rayos paraxiales que salen de P; esto demuestra nuestra afirmación de que P' es la imagen de P.

Para obtener el aumento lateral m para esta situación, utilizamos la construcción de la figura 11. Trazamos dos rayos desde el punto Q, uno que pasa por el centro de curvatura C y el otro que incida en el vértice V. De los triángulos PQV y P'Q'V,

y por la ley de la refracción,

Para ángulos pequeños,

de modo que, por último,

o

(aumento lateral, superficie refractora esférica).

Ecuación 5.

 

figura 11

 

Las ecuaciones 4 y 5 se pueden aplicar a superficies refractoras tanto convexas como cóncavas, siempre y cuando se utilicen las reglas de los signos de manera consistente. No importa que na es mayor o menor que nb. A continuación, una última advertencia sobre la regla de los signos para los radios de curvatura R de una superficie. La superficie refractora convexa de la figura 10 tiene un valor positivo de R.. La regla es que R es positiva si el centro de curvatura C está en el lado de la superficie por donde se alejan los rayos y negativa si C está en el otro lado. Para la superficie refractora convexa de la figura 10, R es positiva debido a que C y los rayos salientes están a la derecha de la superficie.

Un caso especial importante de superficie refractora esférica es la superficie plana entre dos materiales ópticos. Esto corresponde a hacer R = ¥ en la ecuación 4. En este caso,

(superficie refractora plana).

Para encontrar el aumento lateral m para este caso, combinamos esta ecuación con la relación general, ecuación 5, obteniendo el sencillo resultado

Esto es, la imagen formada por una superficie reflectora plana siempre tiene el mismo tamaño lateral que el objeto, y siempre está derecha.

Un ejemplo de formación de imágenes por una superficie refractora plana es la apariencia que tiene una pajilla o un remo parcialmente sumergido. Cuando se les ve desde algunos ángulos, el objeto parece doblarse en la superficie del agua debido a que la parte sumergida parece estar a sólo tres cuarto de su distancia real por debajo de la superficie del agua.