Problemas resueltos





Ejemplo 1.

Una lente biconvexa de vidrio con un índice de refracción n = 1,5 tiene sus radios de curvatura de 10 cm y 15 cm. Un objeto de 1,2 cm de alto se coloca a 4 cm de dicha lente; además, a la derecha de la misma y a 12 cm de ella se coloca una segunda lente de distancia focal + 6 cm. Situar la imagen final.

 

figura e.10

 

Þ La figura anterior muestra el diagrama de rayos para este ejemplo. Los rayos utilizados para localizar la imagen de la primera lente no tienen porqué ser necesariamente los rayos principales correspondientes a la segunda lente. Si no lo fuesen, bastaría simplemente dibujar rayos adicionales desde la primera imagen que fuesen los rayos principales para la segunda lente, como por ejemplo un rayo desde la imagen paralelo al eje, y otro que pase por el primer punto focal de la segunda lente, o uno que pase por el vértice de ésta última. En este caso, dos de los rayos principales para la primera lente, lo serían también para la segunda. El rayo paralelo para la primera lente resultaría ser el rayo central para la segunda. Además el rayo focal para la primera lente emerge paralelo al eje y, por tanto, se refracta pasando por el punto focal de la segunda lente. (En la figura, se ha prolongado el rayo central para la primera lente de modo que pase por el punto de la imagen que se ha encontrado mediante los otros dos rayos.) Podemos ver que la imagen final es real, invertida y un poco a la derecha del segundo punto focal de la segunda lente. Podemos localizar su posición algebraicamente observando que la imagen virtual de la primera lente está a 6 cm a la izquierda de la misma y, por consiguiente, está a 18 cm a la izquierda de la segunda lente. Utilizando s2 = 18 cm y f2 = 6 cm, se tiene:

lo que nos da:





Ejemplo 2.

Dos lentes con la misma distancia focal de 10 cm distan 15 cm entre sí. Hallar la imagen final de un objeto a 15 cm de una de las lentes.

 

Þ En el diagrama de rayos de la figura anterior, la imagen de la primera lente estaría a 30 cm a la derecha de la lente si no existiese la segunda lente. Se calcula este valor utilizando s1 = 15 cm y f1 = 10 cm en la ecuación de la lente delgada:

Se obtiene así para s1':

Esta imagen no llega a formarse porque los rayos luminosos inciden sobre la segunda lente antes de que alcancen la posición que ha de ocupar dicha imagen. Podemos situar gráficamente la imagen final escogiendo rayos que se estén dirigiendo hacia la imagen sin formar, cuando incidan en la segunda lente. No necesitan los rayos principales de la primera lente. Cualquier rayo que sale del objeto y llega a la primera lente se dirige forzosamente hacia la imagen de la primera lente. Escojamos un rayo que salga de la primera lente paralelo al eje (el rayo inferior en la figura) y otro que pase por el centro de la segunda lente (el rayo superior en la figura). Vemos que la imagen final está entre la segunda lente y su punto focal. (En la figura se ha prolongado los dos rayos intermedios utilizados para localizar la situación de la primera imagen sin formar, de modo que pasen por la imagen final.) La imagen final puede situarse algebraicamente utilizando la primera imagen como objeto para la segunda lente. Como esta imagen sin formar está en el lado de transmisión de la segunda lente, es un objeto virtual. Como está a 15 cm de la segunda lente, la distancia objeto es s2 = -15 cm. Entonces:

 

Despejando s2', se obtiene:





Ejemplo 3.

Se colocan en contacto entre sí dos lentes delgadas de distancias focales f1 y f2. Demostrar que la distancia focal equivalente de la combinación, f, viene dada por

 

Þ Sea s la distancia objeto para la primera lente (y, por tanto, para la combinación de lentes) y s1' la distancia imagen. Aplicando la ecuación de la lente delgada para la primera de ellas, se obtiene

Como las lentes están juntas, la distancia objeto para la segunda lente es igual a la distancia imagen de la primera lente, pero con signo contrario, de modo que s2 = -s1'. Llamando s' a la distancia imagen final, tenemos para la segunda lente

Sumando estas dos ecuaciones para eliminar s1', se obtiene

El ejemplo 3 nos da el importante resultado de que cuando se ponen dos lentes en contacto (o muy próximas) se suman los valores inversos de sus distancias focales. El valor inverso o recíproco de la distancia focal se denomina potencia de la lente. Cuando se expresa en metros la distancia focal, la potencia viene dada en recíprocos de metros denominados dioptrías (D):

Ecuación 1.

La potencia de una lente mide su capacidad para enfocar los rayos paralelos a una distancia corta de la misma. Cuanto más corta es la distancia focal, mayor es la potencia. Por ejemplo, una lente con una distancia focal de 25 cm = 0,25 m tiene una potencia de 4,0 dioptrías. Una lente de 10 cm = 0,10 m de distancia focal tiene 10 dioptrías de potencia. Como la distancia focal de una lente divergente es negativa, su potencia es también negativa.





Ejemplo 4.

Una lente tiene una potencia de - 2,5 dioptrías. ¿Cuál es su distancia focal?

 

Þ Despejando la distancia focal en la ecuación 1, se obtiene:

en donde hemos utilizado el hecho de que una dioptría es lo mismo que el inverso de un metro, es decir, 1D = 1m-1.

Los resultados del ejemplo 3 pueden darse simplemente en función de la potencia de una lente. Cuando dos lentes están en contacto, la potencia de la combinación es igual a la suma de las potencias de las lentes:

dos lentes en contacto.