La ecuación del constructor de lentes





Procederemos a deducir la ecuación del constructor de lentes, que es una relación entre la longitud focal f, el índice de refracción n de la lente y los radios de curvatura R1 y R2 de las superficies de la lente. Utilizamos el principio de que una imagen formada por una superficie reflectora o refractora puede servir como objeto para una segunda superficie reflectora o refractora.

Empezamos con el caso un poco más general de dos superficies esféricas que separan tres materiales con índices de refracción na,nb y nc, como se muestra en la figura 42. Las distancias objeto e imagen para la primera superficie son s1 y s1' y las correspondientes a la segunda superficie son s2 y s2'. Suponemos que la lente es delgada, de modo que la distancia t entre las dos superficies es pequeña en comparación con las distancias objeto e imagen y, por tanto, se puede despreciar. Entonces, s2 y s1' tienen la misma magnitud y el signo opuesto. Por ejemplo, si la primera imagen se encuentra en el lado por donde se alejan los rayos de la primera superficie, s1' es positiva. Pero cuando se le considera como un objeto para la segunda superficie, la primera imagen no se encuentra en el lado de esa superficie por donde inciden los rayos, de modo que podemos decir que s2 = -s1'.

 

figura 42

 

Necesitamos utilizar la ecuación para una sola superficie, ecuación 4 del apartado Imágenes formadas por refracción, dos veces, una para cada superficie. Las dos ecuaciones resultantes son:

Por lo general, el primero y el tercer materiales son aire o el vacío, de modo que hacemos na = nc = 1. El segundo índice de refracción nb es el de la lente, que denotaremos simplemente con n. Al sustituir estos valores y la relación s2 = -s1' obtenemos:

Para obtener una relación entre la posición inicial del objeto s1 y la posición final de la imagen s2', sumamos estas dos ecuaciones. Con ello eliminamos los términos n/s1' y obtenemos:

Finalmente, considerando la lente como una sola unidad, llamamos a la distancia objeto s, en vez de s1, y s' a la distancia imagen final en lugar de s2'. Haciendo estas sustituciones tenemos:

Ecuación 1.

Ahora comparamos esta expresión con la otra ecuación para lentes delgadas, la ecuación 3 del apartado Propiedades de una lente. Vemos que las distancias objeto e imagen s y s' aparecen exactamente de la misma forma en ambas ecuaciones, y que la longitud focal f está dada por:

(ecuación del constructor de lentes para una lente delgada).

Ecuación 2.

Ésta es la ecuación del constructor de lentes. En el proceso de deducción de la relación entre distancia objeto, distancia imagen y longitud focal para una lente delgada, también hemos obtenido una expresión para la longitud focal f de una lente delgada en términos de su índice de refracción n y de los radios de curvatura R1 y R2 de sus superficies. Esto se puede utilizar para demostrar que todas las lentes de la figura 40 son convergentes con longitud focal positiva, y que todas las lentes de la figura 41 son lentes divergentes con longitud focal negativa. Por ejemplo en la figura e.7, s, s', y R1 son positivas, pero R2 es negativa.

Insistimos en que la aproximación paraxial es, en efecto, una aproximación. Los rayos que tienen ángulos lo suficientemente grandes con respecto al eje óptico de una lente esférica no serán enfocados en el mismo foco que los rayos paraxiales; este el mismo problema de aberración esférica que experimentan los espejos esféricos. Para evitar ésta y otras limitaciones de las lentes esféricas delgadas, en los instrumentos ópticos de precisión se utilizan lentes con formas más complicadas.