Espejos Cóncavos





En la figura 19 se muestra un espejo esférico con radio de curvatura R, que tiene su superficie cóncava hacia la luz incidente. El centro de curvatura de la superficie está en C, y el vértice del espejo está en V. La recta CV se conoce como eje óptico. El punto P es un punto objeto que se encuentra en el eje óptico.

 

figura 19

 

El rayo PV que pasa por C, incide en el espejo normalmente y se refleja sobre la misma trayectoria. El rayo PB, que forma un ángulo a con el eje, incide sobre el espejo en B, donde los ángulos de incidencia y de reflexión son q . El rayo reflejado intersecta al eje en P'; dentro de poco demostraremos que todos los rayos provenientes de P intersectan al eje en el mismo punto P' como en la figura 20, siempre que el ángulo a sea pequeño. P' es, por tanto, la imagen del punto objeto P. Los rayos de la figura 20 se intersectan en P', luego divergen de P' como si se hubiese originado en este punto. Así pues, P' es una imagen real.

 

figura 20

 

Para ver la utilidad de tener una imagen real, suponga que el espejo está en un cuarto oscuro en el cual la única fuente de luz es un objeto luminoso situado en P. Si se coloca un pequeño trozo de película fotográfica en P', todos los rayos de luz provenientes de P y que se reflejen en el espejo llegarán al mismo punto P' sobre la película; cuando se revele, la película mostrará una sola mancha brillante, que es una imagen mal enfocada del objeto colocado en P. Este principio constituye la base del diseño de la mayoría de los telescopios astronómicos, que utilizan grandes espejos cóncavos para hacer fotografías de los objetos celestes.

Ahora encontraremos la posición del punto real P' en la figura 19 y demostraremos la afirmación de que todos los rayos que salen de P se intersectan en P' (siempre y cuando su ángulo con respecto al eje óptico sea pequeño). La distancia objeto, medida desde el vértice V, es s; la distancia imagen, también medida desde V, es s'; y el radio de curvatura del espejo es R. Los signos de s, s' y R están determinados por la regla de los signos(enlace). El punto objeto P está del mismo lado que la luz incidente, de modo que, según la primera regla, s es positiva. El punto imagen P' está del mismo lado que la luz reflejada, así que, de acuerdo con la segunda regla, la distancia imagen s' también es positiva. El centro de curvatura C está del mismo lado que la luz reflejada, así que, según la tercera regla, R también es positiva; R siempre es positiva cuando la reflexión se produce en el lado cóncavo de una superficie.

Teorema de la geometría plana: Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos. Al aplicar este teorema a los triángulos PBC y P'BC de las figuras 19 y 20, tenemos:

Eliminando q entre estas dos cantidades obtenemos:

Ahora podemos calcular la distancia imagen s'. Sea h la altura del punto B por encima del eje óptico y d la corta distancia que existe entre V y el pie de esta línea vertical.

Escribiremos expresiones para las tangentes de a , b y f , teniendo en mente que s, s' y R son todas cantidades positivas:

Estas ecuaciones trigonométricas no se pueden resolver con la misma facilidad que las correspondientes ecuaciones algebraicas para los espejos planos. Sin embargo, si el ángulo a es pequeño, los ángulos b y f también son pequeños. La tangente de un ángulo que es mucho menor que un radián es casi igual al ángulo mismo (medido en radianes), de modo que podemos sustituir tan a por a , y así sucesivamente, en las ecuaciones anteriores. También, si a es pequeño, podemos despreciar la distancia de d comparada con s, s' y R. Así pues, para ángulos pequeños tenemos las siguientes relaciones aproximadas:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación:

y dividiendo entre h, obtenemos una relación general entre s, s' y R:

Esta ecuación no contiene al ángulo a . En consecuencia, todos los rayos provenientes de P que forman ángulos lo suficientemente pequeños con respecto al eje se intersectan en P' después de reflejarse; esto confirma nuestra afirmación anterior. Tales rayos, casi paralelos al eje y cercanos a él, se conocen como rayos paraxiales. Puesto que todos los rayos reflejados de esta manera convergen en el punto imagen, un espejo cóncavo se conoce también como espejo convergente.

La última ecuación es resultado de cálculos en donde se hicieron aproximaciones, y es válida sólo para rayos paraxiales. Si aumentamos el ángulo a que forma un rayo con el eje óptico, el punto P', donde el rayo intersecta al eje óptico, se desplaza un poco más hacia el vértice que el caso de un rayo paraxial. Como resultado, un espejo esférico, a diferencia de uno plano, no forma una imagen puntual precisa de un objeto puntual; la imagen está "distorsionada". Esta propiedad de un espejo esférico se conoce como aberración esférica. Los resultados obtenidos con el telescopio espacial HUBBLE cuando se colocó en órbita en 1990 se debieron, en parte a errores cometidos en la corrección de la aberración esférica en su espejo principal. El funcionamiento del telescopio mejoró después de la instalación de dispositivos ópticos de corrección.

Si el radio de curvatura es infinito, el espejo se vuelve plano y la ecuación

se reduce a la ecuación

para una superficie reflectora plana.